Induccion Matematica
http://www.youtube.com/watch?v=BYQ2pMd7NaE
Recursividad
http://www.youtube.com/watch?v=JfmrGGzHcw8
jueves, 13 de diciembre de 2012
Acitividades de la Unidad IV
6.1
a) Un
hombre tiene 5 trajes, 8 camisas y 7 corbatas. ¿De cuantas maneras diferentes
puede vestirse?
Respuesta:
Por el
principio de multiplicación, el hombre tiene 5 x 8 x 7 = 280 trajes distintos.
b) Una
mujer tiene 6 vestidos, 5 faldas y 3 blusas ¿de cuantas formas diferentes puede
combinarlas?
Respuesta:
La mujer
tiene 5 x 3 = 15 trajes diferentes que consisten en una falda y una blusa. Como
alternativa a uno de estos equipos se puede usar uno o seis vestidos. Por el
principio de otra parte, tenía 15 +6 = 21 equipos posibles.
c) Hay
helados disponibles de 6 sabores para el postre, alguien puede ordenar una bola
de helado dos o tres. ¿Cuántas combinaciones de postre son posibles?
Respuesta:
Hay seis
postres diferentes que consisten en una bola, de 6 x 6 = 36 que consta de dos
bolas y 6 x 6 x 6 = 216 que consta de tres bolas. Esto da un total de 6 + 36 +
216 = 258 postres diferentes.
6.2
a) Un
palíndromo es una cadena de dígitos que se lee igual hacia atrás como hacia
adelante. ¿Cuántos palíndromos diferentes hay con seis dígitos? Y ¿Cuántas con
siete dígitos?
Respuesta:
Hay 10
dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. hay 10 x 10 x 10 = 1000 maneras de
seleccionar los Firts tres dígitos y por lo que hay 1000 de seis dígitos
palíndromos. Un argumento similar se aplica a los siete dígitos palíndromos,
pero además hay 10 posibilidades para el dígito medio. Por lo tanto, hay 1000 x
10 = 10.000 palíndromo siete dígitos.
b)
¿Cuántos números de cuatro dígitos a menos de 6000 se pueden hacer utilizando
solamente los dígitos impares?
Respuesta:
Respuesta:
Las
coquetea dígitos debe ser de 1 o 3 o 5. los restantes tres dígitos cada uno
puede ser seleccionado entre los cinco dígitos impares. Por lo tanto, hay 3 x 5
x 5 x 5 = 375 números de cuatro dígitos menos de 6000 y que contiene solamente
los dígitos impares.
c) Una
contraseña de equipo se compone de seis caracteres. Los dos primeros deben ser
letras minúsculas y las cuatro restantes, ya sea Canbe dígitos o letras
minúsculas. ¿Cuántas contraseñas diferentes son posibles?
Respuesta:
Hay 26 x
26 = 676 maneras de seleccionar los dos primeros caracteres. Cada una de las
restantes cuatro caracteres (letras y números 26 10). Esto puede hacerse en 36x
36 x 36 x 36 = 1 679616 maneras. Por lo tanto, 676 x 1 679616 = 1 135 420, 416
contraseñas diferentes son posible.
6.3
Sea
S el conjunto de números de cuatro dígitos elaborados a partir de los dígitos
0,2,3,5 y 6, donde el primer dígito no puede ser 0
a) ¿Cuántos números hay en S?
a) ¿Cuántos números hay en S?
Respuesta:
Hay
cuatro primeros dígitos Posible y cada uno de los restantes tres dígitos puede
ser seleccionado entre cinco posibilidades. Esto da un total de 4x5x5x5 = 500
números en S.
b) ¿Cuántos números en S no se han repetido dígitos?
Respuesta:
El primer
dígito puede ser seleccionado de cuatro maneras. Los restantes tres dígitos
forma ordenada n selección de tres objetos a partir de cuatro posibilidades sin
repetición; esto puede hacerse en 4x3x2 = 24 maneras. Por lo tanto, hay 4x24 =
96 elementos de S que no tienen repiten dígitos.
c) ¿Cuántos de los que en la parte (b) son aún más?
Respuesta
si los
últimos dígitos es 0, los tres primeros dígitos se puede seleccionar en 4x3x2 =
24 maneras. Si el último dígito es 2 o 6 a continuación, (ya que el primer
dígito no puede ser 0) los tres primeros dígitos se puede seleccionar en 3x3x2
= 18 maneras. Por el principio de adición, 24 18 18 = 60 de los números en la
parte b) son aún.
d) ¿Cuántos de los que en la parte (b) son mayores que 4000?
El primer
dígito es 5 o 6. Puesto que hay 4x3x2 = 24 maneras de seleccionar los restantes
tres dígitos, hay 2x24 = 48 números en la parte b) mayor que 4000.
6.5
a) ¿De cuántas maneras se puede primero, segundo y tercer premio un arreglo floral la competencia se da a 17 participantes?
a) ¿De cuántas maneras se puede primero, segundo y tercer premio un arreglo floral la competencia se da a 17 participantes?
Respuesta:
a) El
orden es importante y se repite no se les permite por lo que hay de P (17,3) =
4080 formas de concesión de premios.
b) Un
Comité de 20 personas elige a un presidente y un vicepresidente. ¿De cuántas
maneras se puede hacer esto?
Respuesta:
Respuesta:
El orden
es importante y se repite no se les permite por lo que hay de P (20,2) = 380
maneras de elegir un presidente y un vicepresidente.
c) Una contraseña ordenador se elige como en el ejercicio 6,2 (c). ¿Cuántas contraseñas están allí, que no contienen caracteres repetidos?
Respuesta:
Hay P (26,2) = 650 maneras de seleccionar los dos primeros caracteres y P (36,4) = 1,413,720 maneras de seleccionar los cuatro últimos caracteres. Esto da un total de 650 x 918 = 1.413.720, 918.000 contraseñas diferentes que no contienen caracteres repetidos.
6.6
a) un equipo de hockey tiene 18 jugadores, 11 forman un equipo. ¿Cuántos equipos diferentes son posibles?
Respuesta:
Orden de
la selección no importa y no se permiten repeticiones. Por lo tanto existen C
(18,11) = 31, 824 selecciones diferentes de equipo posible.
b) Un
jurado compuesto por 5 mujeres y 7 hombres es ser seleccionado de un grupo de 8
mujeres y 11 hombres. ¿Cuántos jurados diferentes son posibles
Respuesta:
Las
mujeres en un jurado puede ser seleccionado en C (8,5) maneras = 56. Los
hombres de un jurado puede ser seleccionado en C (11,7) = 330 maneras. Por lo
tanto, hay 56 x 330 = 18, 480 jurados mejores elementos diferentes.
C) un
equipo de cuatro jugadores de golf es a elegir entre cinco jugadores
profesionales y aficionados de cinco años. ¿Cuántos equipos consiste de tres
jugadores profesionales y un jugador amateur? y ¿Cuántos equipos que consistan
exclusivamente en los jugadores profesionales o aficionados?.
Respuesta:
Respuesta:
Hay C
(5,3) = 10 maneras de seleccionar a tres jugadores profesionales y C (5,1) = 5
maneras para seleccionar el jugador amateur. Esto le da a 10x5 = 50 posibles
equipos que contienen, precisamente, uno de los jugadores aficionados. El
número de equipos formados exclusivamente por jugadores profesionales es C
(5,4) = 5. Del mismo modo, hay 5 equipos formados por sólo jugadores
aficionados. Por lo tanto, hay 5 +5 = 10 equipos que contengan sólo los
profesionales o aficionados.
6.7
Un
comité de selección de los tres diputados es que se forma a partir de cinco
Trabajo Conservador, tres años y de los miembros liberales demócratas.
a) ¿De cuántas maneras puede el comité de formarse?
a) ¿De cuántas maneras puede el comité de formarse?
Respuesta:
Existen C
(12, 3) = 220 maneras de formar el comité.
b) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si por lo menos un liberal demócrata se debe incluir?
Respuesta:
Existen C
(8, 3) = 56 comités que no contienen miembros liberales demócratas. Puesto que
hay 220 comités que se pueden formar cuando no se imponen restricciones, hay
220 - 56 = 164 comités posibles que contengan al menos un liberal demócrata.
c) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si no se puede incluir tanto a miembros del Partido Laborista y el Conservador?
Respuesta:
Si el
Comité no contiene miembros del Partido Laborista existen C (9, 3) = 84
posibilidades. Si el comité no contiene miembros conservadores existen C (7, 3)
= 35 posibilidades. Esto da un total de 84 + 35 = 119. posibilidades. Sin
embargo, esta cuenta el número de comités compuestos únicamente de los
demócratas liberales dos veces. Hay C (4, 3) = 4 de estos fines por lo que hay
115 comités y del tipo requerido.
d) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si se debe incluir al menos un conservador, y al menos un miembro del Trabajo?
Respuesta:
Hay C
(5,2) x C (3,1) = 10 x 3 = 30 comités formados por dos conservadores y un
miembros de mano de obra, C (5,1) x C (3,2) = 15 que consta de un Coservative y
dos miembros del Partido Laborista, y C (5,1) x C (3,1) x C (4,1) = 60 que
consta de un miembro de cada partido. Esto da un total de 30 + 15 + 60 = 105
posibilidades.
6.8
Una
pequeña empresa emplea a ocho personas en el departamento de fabricación, cinco
en el departamento de marketing de una las tres de la departamento
contabilidad. Un equipo de proyecto de seis años es que se formó para discutir
el lanzamiento de un nuevo producto. ¿De cuántas maneras puede el equipo se
formará si:
a) Hay que ser dos representativas de cada departamento
a) Hay que ser dos representativas de cada departamento
Respuesta:
a) Hay C
(8,2) xc (5,2) x C (3,2) = 840 equipos con dos representantes de cada
departamento.
b) hay
por lo menos dos miembros del departamento de fabricar
a) si no
hay un representante del departamento de fabricación, C (8,6) = 28 equipos son
posibles. Si hay un representante, C (8,1) x C (8,5) = 448 equipos son
posibles. Por lo tanto, 28 + 448 = 476 equipos de bronceado contienen menos dos
representantes de la fabricación. Desde C (16,6) = 8008 equipos se pueden
formar sin restricciones, hay 8008 - 476 = 7532 equipos del tipo requerido.
c) hay que ser representativas de todos los departamentos hay
Respuesta:
Si sólo
un departamento está representado debe ser el departamento de fabricación, en
cuyo caso hay C (8,6) = 28 equipos posibles.
Ahora
calculamos el número de equipos que contienen exactamente dos representantes de
los departamentos. Hay tres casos a considerar.
En primer lugar, hay C (13,6) = 1716 los equipos que pueden ser formados a partir de los ocho miembros del departamento de fabricación y los cinco miembros del departamento de marketing. Dado que 28 de ellos excluye cualquier representación de la comercialización. 1716/28 = 1688 contiene los representantes de ambos departamentos. Del mismo modo, existen C (11,6) - 28 = 434 equipos que contienen los representantes de la fabricación y los departamentos de contabilidad. Por último, todos los equipos formados a partir de los miembros de los departamentos de marketing y contabilidad contienen los representantes de ambos departamentos y hay C (8,6) = 28 de ellos.
En primer lugar, hay C (13,6) = 1716 los equipos que pueden ser formados a partir de los ocho miembros del departamento de fabricación y los cinco miembros del departamento de marketing. Dado que 28 de ellos excluye cualquier representación de la comercialización. 1716/28 = 1688 contiene los representantes de ambos departamentos. Del mismo modo, existen C (11,6) - 28 = 434 equipos que contienen los representantes de la fabricación y los departamentos de contabilidad. Por último, todos los equipos formados a partir de los miembros de los departamentos de marketing y contabilidad contienen los representantes de ambos departamentos y hay C (8,6) = 28 de ellos.
6.9
a) Un
restaurante ofrece cinco cursos diferentes principal de su menú. Un grupo de
seis personas cada una orden de un plato principal. ¿De cuántas maneras
diferentes se pueden colocar las órdenes?
Respuesta:
Esta es
una selección desordenada de seis platos principales de un conjunto de cinco
opciones con repetición permitidos. El número de maneras de hacer esto viene
dado por C (n + k-1, n-1) donde n = 5 y k = 6. Esto le da a C (10,4) = 210
osders diferentes.
b) Un florista de las poblaciones de rosas en cuatro colores diferentes. ¿Cuántos ramos de flores diferentes de una docena de rosas se puede componer?
Respuesta:
Cada ramo
es una selección desordenada de una docena de rosas, con la repetición, a
partir de los cuatro colores disponibles. Por lo tanto, existen C (4 12-1, 4-1)
= C (15, 3) = 455 ramos de flores posibles.
6.10
6.10
Usted
está comprando cinco tarjetas de Navidad en una tienda que las poblaciones de
cuatro tipos diferentes que te gustan.
a) ¿De cuántas maneras hay que comprar las cinco cartas?
a) ¿De cuántas maneras hay que comprar las cinco cartas?
Respuesta:
Esta es
la selección desordenada de cinco objetos a partir de un conjunto de cuatro
objetos con repetición deseada. Esto puede hacerse en C (4 5-1, 4-1) = C (8,3)
= 56 maneras.
b)
¿Cuántas posibilidades son exactamente dos de los tipos 4 tipos?
Respuesta:
Respuesta:
a) hay C
(4,2) = 6 formas de especificar cualquiera de los dos tipos de tarjeta. Para
cada una de estas especificaciones que hacer una selección desordenada de los
cinco objetos de los dos tipos con la repetición. Esto puede hacerse en C (2
5-1, 2-1) = C (6,1) = 6 maneras. Horewer, dos de estas posibilidades contener
sólo un tipo de tarjeta. Por lo tanto, hay 6 x 4 = 24 selecciones de cinco
cartas que contienen exactamente dos de los tipos de tarjetas de ofter.
6.13
¿Cuántos
reordenamientos distintas hay de las letras de la palabra ABRACADABRA?
¿Cuántos de ellos:
a) comienzan con la letra C?.
¿Cuántos de ellos:
a) comienzan con la letra C?.
Respuesta:
Hay 11!
Permutaciones de las letras A, B, R, A, C, A, D, A, B, R y A.
Desde las cinco de A, dos de B y dos de R son indistinguibles, hay
11! / 5! 2! 2! = 83160 ó
Reordenamientos diferentes.
Hay
10! / 5! 2! 2! = 7560 ó
Diferentes reordenamientos de las letras A, B, R, A, A, D, A, B, R y A, y así 7560 reordenamientos de las letras en ABRACADABRA comienzan con C.
Desde las cinco de A, dos de B y dos de R son indistinguibles, hay
11! / 5! 2! 2! = 83160 ó
Reordenamientos diferentes.
Hay
10! / 5! 2! 2! = 7560 ó
Diferentes reordenamientos de las letras A, B, R, A, A, D, A, B, R y A, y así 7560 reordenamientos de las letras en ABRACADABRA comienzan con C.
b) han Bs
juntos?
Respuesta:
Se
requiere el número de reordenamientos diferentes objetos de la 10 BB, A, R, A,
C, A, D, A, R y A. esto es sólo
10! / 5! 2! = 15120.
10! / 5! 2! = 15120.
6.14
a)
Determine el coeficiente de a3b5 en la expansión de (a + b) 8.
Respuesta:
El
coeficiente requerida es C (8,5) = 56.
b) Determinar el coeficiente de xy3z4 en la expansión de (x + y + z) 8.
Respuesta:
El
coeficiente requerido es
8! / 1! 3! 4! = 280
8! / 1! 3! 4! = 280
c)
Determinar el coeficiente de xy2z en la expansión de (x +2 y + z-1) 5.
Respuesta:
El
coeficiente requerido es
8! / 1! 3! 4! = 280
8! / 1! 3! 4! = 280
El
Coeficiente requerido es
8!/1!3!4!
= 280
miércoles, 12 de diciembre de 2012
Actividades de la Unidad III
4.1 List
yhe set of ordered pairs and draw the graphical form of the relation with
matrix.
A b c d
a b c d
1 T F T F 1 1 0 1 0
2 T F T F =
2 1 0 1 0
3 F T T F 3 0 1 1 0
4.2 For
each of the following relations on N, list the ordered pairs that belong to the
relation.
R= {(x,y) :
2x + y= 9}
S= {(x,y)
:x + y <7}
T={(x,y) :y= x°2}
4.3 Let R be the relation on
{1,2,3,4} given by u R v if and only if u + 2v is odd.
Represent R in each of the
following ways:
(a)
As a set of
ordered pairs
(b)
In graphical
form
(c)
In matrix
form
|
SEX
|
DISCRETE MATHEMATICS
|
BASIC MATHEMATICS
|
NAME
|
ADDRESS
|
|
F
|
B
|
B
|
JONES
|
2 THE MOTTE, NEWTON
|
|
F
|
B
|
A
|
McKAY
|
133 UFF ROAD, READING
|
Actividades de la Unidad II
ACTIVIDADES DE
LA UNIDAD II
Cuestión
1.1
¿Sabías
decir de qué trata la lógica?
Es una ciencia que
estudia los principios de la demostración, examina la validez de los argumentos
independientemente de su contenido y de la lengua utilizada en su expresión. En
matemáticas la lógica se caracteriza por emplear un lenguaje simbólico artificial
y realizar una abstracción de los contenidos.
Cuestión
1.2
a) Enunciado.- se define como una
expresión lingüística que establece un pensamiento completo. Los enunciados se
pueden clasificar en interrogativos, imperativos y declarativos.
b) Argumento.- es un sistema de
enunciados, de un lenguaje determinado uno de sus enunciados es designados como
la conclusión y el resto como la premisas, es correcto si y solamente si, no es
posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión es falsa.
c) Argumento analítico.- son analíticos, ya
que el equivalente enunciado siempre es verdadero.
Clasificación de los
diferentes tipos de enunciados y argumentos
Enunciados de acción
Enunciados de atribución
de propiedades
Enunciados de relación
entre sujetos
Argumento correcto con
las premisas y la conclusión falsa
Argumento correcto con
las premisas falsa y la conclusión verdadera
Problema
1.3
1.- la población de
Madrid es mayor de 100.000 habitantes
Analítico
2.- algunos concertistas
de piano son franceses
Sintético
3.- todo perro negro es
un perro
Analítico
4.- todo criminal
sospechoso es un criminal
Analítico
5.- todo criminal
sospechoso es un sospechoso
Sintético
6.- todos los cuervos son
negros
Analítico
7.- si dos individuos son
hermanos, son parientes
Analítico
8.- si un hombre es más
alto que un segundo, entonces el segundo es más pequeño que el primero
Sintético
9.- todo lo que sube
tiene que bajar
Analítico
10.- dos cuerpos no pueden
estar en el mismo lugar al mismo tiempo
Analítico
11.- en castellano,
“Inglaterra” denota Inglaterra
Sintético
12.- para dos enteros
positivos x, y, z: si x < y entonces x+z<y+z
Analítico
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